Navigationsweiche Anfang

Navigationsweiche Ende

Im 19. Jahrhundert erwarben Wissenschaftler die Erkenntnis, dass chaotisches Verhalten in Phänomenen unterschiedlicher Art mathematisch durch Zufallsprozesse und dessen stochastische (partielle) Differentialgleichungen mathematisch modelliert und untersucht werden kann.

Dabei hat es Ludwig Boltzmann grundlegend für die statistische Mechanik als erster gewagt, die Bewegung von Molekülen in Flüssigkeiten durch Zufallsprozesse mathematisch zu beschreiben, während Louis Bachelier als Gründer der Finanzmathematik die Änderung von Wertpapieren an Hand der Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieb. Das Zufallsprozesse mit Sprüngen in solchen Phänomenen stattfinden können, war in diesen Anfangskonzeptionen schon enthalten.

Durch die bahnbrechenden Arbeiten von Einstein 1906/1907 zur Bewegung von Molekülen bei der Ausbreitung eines Gases in Luft (oder anderen Flüssigkeiten/Gasen), etablierte sich unter den Wissenschaftlern die Meinung, dass die meisten chaotischen Phänomene durch Gaußsches Rauschen modelliert werden sollten. Das Gaußsche Rauschen wird dabei durch die sogenannte Brownsche Zufallsbewegung durch stochastische Integration definiert. Levy Zufallsprozesse, oder allgemeiner additive Prozesse haben, außer der Stetigkeitseigenschaft der Pfade, alle Eigenschaften (Additivität und evtl. Stationarität) der Brownschen Bewegung. Dass diese auch in vielen Phänomenen eine Rolle spielen, war zwar von Spitzenwissenschaftlern wie Paul Lévy oder Kyosi Ito bewusst, und wurde von Ihnen und deren Anhänger im 20.Jahrhundert erforscht, im Allgemeinen erst jedoch nicht genügend wahrgenommen. In den letzten 15 Jahren haben Folgen von Finanzkrisen die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf diese Zufallsprozesse mit Sprüngen gelenkt und die Modellierungen mit nicht Gaußschem additivem (Lévy) Rauschen motiviert.

Die Literatur lieferte jedoch zuerst keine einheitliche mathematische Beschreibung dieses chaotischen Verhaltens und war auf unendlich dimensionalen Räumen noch nicht zufriedenstellend aufgebaut. Gerade auf solchen Räumen, wie z.B. Hilbert Räumen, kann man jedoch die Bewegung unendlich vieler Teilchen oder chaotische Einflüsse beschreiben; sogar die bekannte Heath-Jarrow-Morton-Musiela Zinsmodelle werden in der Finanzmathematik auf Hilbert Räumen untersucht.

Meine Arbeit als Leiterin der Arbeitsgruppe Stochastik hat sich in den letzten Jahren (auch in Zusammenarbeit) damit befasst, die Definition von additivem (Lévy) Rauschen auf endlich und unendlichen Hilbert und Banach Räumen als Verallgemeinerung zum Gaußschen Rauschen mathematisch rigoros zu untersuchen und die darauf aufbauende Theorie der stochastischen (partiellen) Differentialgleichungen zu erforschen. Dabei wurden die Anwendungen insbesondere in den Bereichen der mathematischen Physik und der Finanzmathematik nie aus den Augen gelassen, womit zusätzlich zu der Grundlagenforschung unterschiedliche Forschungsbereiche entstanden sind, in die Mitarbeiter und Abschlußstudierende involviert werden.