Im 19. Jahrhundert erwarben Wissenschaftler die Erkenntnis, dass chaotisches Verhalten in Phänomenen unterschiedlicher Art mathematisch durch Zufallsprozesse und dessen stochastische (partielle) Differentialgleichungen mathematisch modelliert und untersucht werden kann.
Dabei hat es Ludwig Boltzmann grundlegend für die statistische Mechanik als erster gewagt, die Bewegung von Molekülen in Flüssigkeiten durch Zufallsprozesse mathematisch zu beschreiben, während Louis Bachelier als Gründer der Finanzmathematik die Änderung von Wertpapieren an Hand der Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieb. Das Zufallsprozesse mit Sprüngen in solchen Phänomenen stattfinden können, war in diesen Anfangskonzeptionen schon enthalten.
Durch die bahnbrechenden Arbeiten von Einstein 1906/1907 zur Bewegung von Molekülen bei der Ausbreitung eines Gases in Luft (oder anderen Flüssigkeiten/Gasen), etablierte sich unter den Wissenschaftlern zuerst die Meinung, dass die meisten chaotischen Phänomene durch Gauß‘ sches Rauschen modelliert werden sollten. Das Gaußsche Rauschen wird dabei durch die sogenannte Brown‘ sche Zufallsbewegung durch stochastische Integration definiert. Levy Zufallsprozesse, oder allgemeiner additive Prozesse haben, außer der Stetigkeitseigenschaft der Pfade, alle Eigenschaften (Additivität und evtl. Stationarität) der Brownschen Bewegung. Dass diese auch in vielen Phänomenen eine Rolle spielen, war Spitzenwissenschaftlern wie Paul Lévy oder Kyosi Ito bewusst, und wurde von Ihnen und deren Anhänger im 20.Jahrhundert erforscht. Während Hiroshi Tanaka in Japan schon den Zusammenhang zwischen additive Zufallsprozesse und der homogenen Verformung der Boltzmann Gleichung untersuchte, wurden jedoch solche Sprungprozesse vor Allem in Europa noch nicht genügend wahrgenommen. In den letzten 15 Jahren haben Folgen von Finanzkrisen die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf diese Zufallsprozesse mit Sprüngen wieder gelenkt und die Modellierungen durch Stochastische(Partielle) Differentialgleichungen mit nicht Gaußschem additivem (Lévy) Rauschen motiviert.
Die Literatur lieferte jedoch zuerst keine einheitliche mathematische Beschreibung dieses chaotischen Verhaltens und war auf unendlich dimensionalen Räumen noch nicht zufriedenstellend aufgebaut. In diesem Zusammenhang hat die Arbeitsgruppe stochastische (partielle) Differentialgleichungen mit additivem (Gauß’schem und nicht Gauß’schem ) Rauschen erforscht. Dabei wurden die Anwendungen insbesondere in den Bereichen der mathematischen Physik und der Finanzmathematik nie aus den Augen gelassen, womit zusätzlich zu der Grundlagenforschung unterschiedliche Forschungsbereiche entstanden sind, in die Mitarbeiter und Abschlußstudierende involviert werden.
Basierend auf die Arbeit von Hiroshi Tanaka, untersuchen wir zB solche Sprungprozesse in Zusammenhang mit der Boltzmann Gleichung.
Gleichzeitig untersuchen wir Sprungprozesse, die in Modellen der Finanzmathematik vorkommen. Die Forschungsthemen hierzu werden durch regelmäßigen Austausch mit einer Forschergruppe der Versicherungsgesellschaft Debeka motiviert. So haben wir in großer Allgemeinheit ergodische Eigenschaften von affinen Zufallsprozessen untersucht.
Interessant sind auch die ergodische Eigenschaften von stochastischen Prozessen, die sich auf mehrere invariante Masse stabilisieren können, wie zB die bekannte Heath-Jarrow-Morton-Musiela stochastische Differentialgleichung. Diese beschreibt Zinsmodelle für Transaktionen, die in unterschiedlichen Zeitintervallen berechnet werden müssen. Dessen Pfade werden auf unendlich dimensionalen Hilbert Räumen modelliert. Die ergodischen Eigenschaften und die Geschwindigkeit mit der solche Zufallsprozesse sich in Abhängigkeit der Anfangsbedingungen auf die unterschiedliche invariante Maße einpendeln, sind auch Thema interessanter Forschungs – und Abschlussarbeiten der Arbeitsgruppe.
Ergodische Eigenschaften sind auch deshalb interessant, weil diese die Kalibrierung der Parameter der stochastischen Modellen ermöglichen. Hier spielen allerdings auch statistische Methoden und Analysen der Daten eine wichtige Rolle.
